"Fim" da primeira etapa

Nessa primeira etapa básica sobre estatística aprendemos a calcular médias: aritimética, geométrica, harmônica. Vimos o que é moda e mediana, como achá-las. Além de estudarmos também as medidas de dispersão: variância, desvio-padrão, coeficiente de variação... e outras coisas mais.
Cada ser humano tem um jeito melhor para aprender e fixar os conteúdos vistos, deixo aqui minha dica:
EXERCITEM, quanto mais exercício melhor, principalmente com os números. A matemática é maliciosa e quando pensamos que sabemos de tudo ainda não sabemos de nada.

Segue um site com assuntos e exercícios para você praticar:
http://www.somatematica.com.br/estat/basica/exercicios.php

Medidas de Variação ou Dispersão

∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿∿  ┥Variação

Variação ↥   ↧ Qualidade

Corresponde ao estudo da oscilação (variação) de cada elemento em relação a sua medida.

*Instrumentos

➜  Variância : amostral / populacional

➜  Desvio-Padrão : amostral / populacional

Video aula - Média Ponderada!



Média Ponderada: média artimetica para dados agrupados.



Frequência

Frequência Absoluta (f_i ):

Def: é o número de vezes que o valor de determinada variável é observado.

Frequência Absoluta Acumulada (F_i):

Def: é a soma das frequências absolutas anteriores com a frequência absoluta deste valor.

Frequência Relativa (f_ri):

Def: é o quociente entre a frequência absoluta do valor da variável e o número total de observações.

Frequência Relativa Acumulada (F_ri):

Def: é a soma das frequências relativas anteriores com a frequência relativa desse valor.

Mediana e moda

Mediana

Def: quer dizer o valor do meio, ou seja, se temos: X={1,2,3}, a mediana será 2 e se for Y={1,2,3,4}, a mediana será 2,5.

Para chegarmos nestas conclusões temos as seguintes fórmulas:

Amostra ímpar:

X= (n+1)/2

Com esta fórmula acharemos a posição da mediana.

EX:

X={2,5,6,8,9}

X=5+1/2 = 3, ou seja, o 3º elemento que é 6.

Amostra par:

X=[(n/2)+(n/2)+1]/2

Esta nos indica os elementos, assim substituímos tais elementos e dividimos por dois.

EX:

X={3,5,7,9}

X=[(4/2)+(4/2)+1]/2 = 2+3/2 =

=2º + 3º (elementos)/2 = 5+7/2 = 6.

Moda

Def: significa ser o valor que mais se repete no conjunto.

EX1:

X={1,1,2,3,4,5,6}

Moda = 1.

Neste caso, como só existe uma única moda, ele é uni modal ou modal.

EX2:

X={1,1,2,4,5,6,8,2}

Moda = 1 e 2.

Neste caso, como existem duas modas, ele é bimodal.

EX3:

X={1,1,3,3,4,5,6,7,1,2,3,4,4}

Moda = 1,3 e 4.

Neste caso, como existe mais de duas modas, ele é multimodal ou plurimodal.

EX4:

X={3,4,3,4}

Moda = ∉.

Neste caso, como NÃO existe moda, ele é amodal.

OBS: Sempre que for resolver problemas com medidas da estatística (MÉDIAS, MEDIANA E MODA), têm que colocar os algarismos em ordem crescente.

Média Aritmética, Geométrica e Harmônica.

Média Aritmética
É o tipo de média mais utilizada pelas pessoas no dia-a-dia e subdivide-se em dois tipos: simples e ponderada. A diferença entre elas é que na média aritmética a importância (peso) de cada ocorrência é igual e na ponderada cada termo possui uma importância relativa, ou seja, possuem pesos diferentes.

A fórmula genérica da média aritmética simples é:

Ela é obtida dividindo-se as somas das observações pela quantidade das mesmas.
Exemplos:

Um aluno tirou as seguintes notas na disciplina de matemática: 6,2,7,9. Qual a média?

x= 6+2+7+9 / 4
x= 6

Exemplo 2:  Calcular a média aritmética de: 9, 13 e 20

x= 9+13+20 /3
x= 14
A média aritmética ponderada possui a seguinte fórmula:

Ela é obtida através da soma dos produtos de cada um multiplicado por seus respectivos pesos e dividida pela soma dos pesos.

Exemplo:
Pedro participou de um concurso onde foi realizada provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3,3,2 e 2, respectivamente. Pedro tirou 8.0 em português, 7.5 em matemática, 5.0 em biologia e 4.0 em história. Qual a média que ele obteve?

Média Geométrica
Esse tipo de média tem várias aplicações. É muito utilizada na área de finanças e de engenharia. Lembrando que a média geométrica de um conjunto é sempre menor ou igual a média aritmética, vários problemas de desigualdades como na geometria são resolvidos através dela.
A média geométrica de um conjunto de números positivos é definida como o produto de todos os membros do conjunto elevado ao inverso do número de membros
Este tipo de média é calculada multiplicando-se todos os valores e extraindo-se a raiz de índice n deste produto.
A fórmula desse tipo de média é:

Supomos então, que temos  os números 4, 6 e 9 e  multiplicamos os elementos e obtemos o produto 216. Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6.
Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.

Exemplo:  A média geométrica entre 1,2 e 4.

Uma outra utilização para este tipo de média,é com variações percentuais em sequência. Como por exemplo:
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria?

Média Harmônica
A média harmônica dos números reais positivos é definida como sendo o número de membros dividido pela soma dos inverso dos membros.

Esse tipo de média nunca é maior que a média aritmética ou a geométrica. Ela é utilizada quando se trata de grandezas inversamente proporcionais.

Exemplo 1: Média harmônica de 2, 6 e 8.

 

Exemplo 2:  Suponha que em uma determinada viagem, um carro desenvolva duas velocidades distintas, durante a metade do percurso ele manteve a velocidade de 50 km/h e durante a metade restante sua velocidade foi de 60 km/h. Vamos determinar a velocidade média do veículo no percurso.



Exemplo 3:  Média harmônica entre 1,2,3 e 4.

Resumo inicial sobre Estatística

Antes de iniciar as medidas da estatística, iremos ver a simbologia da mesma.

∑ = símbolo de somatório;

n = Número de elementos;

i = índice de soma, ou seja, é de onde você irá iniciar sua “contagem”.

Para explicar melhor vamos dar uma olhada em uma parte do site: www.atractor.pt/mat/sem_palavras/saber_mais/somatorio.htm

O somatório

A adição é uma das operações básicas da aritmética. O símbolo usual para esta operação é o sinal mais ("+") e cada um dos termos a somar designa-se por parcelas. Assim, por exemplo, a soma de 1, 2 e 4 é denotada por:

1 + 2 + 4.

Em muitas situações o número de parcelas a somar é muito grande e não é viável denotar a adição desta forma. Uma possível solução consiste em esconder as parcelas intermédias atrás de reticências ("..."), deixando claro o modo como se podem reconstituir essas parcelas. Assim, a soma de todos os números naturais de 1 a 1000 pode ser indicada por:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 1000 (*).

Esta forma muitas vezes não é a melhor uma vez que apenas temos acesso às parcelas omitidas de forma implícita, o que pode originar algumas ambiguidades. De modo alternativo, uma soma pode ser representada abreviadamente pelo símbolo de somatório (letra maiúscula grega Sigma)

Onde i é o chamado índice da soma, que toma valores inteiros entre N₁ (limite inferior) e N₂ (limite superior), e f é a função que descreve as parcelas da adição. Por exemplo, na adição (*) N₁ = 1, N₂ = 1000 e f é a função identidade:

O número de parcelas de uma adição representada nesta forma é igual a (N₂ + 1) - N₁. Mais alguns exemplos:

Com esta notação abreviada de somatório, também é possível descrever somas com um número infinito de parcelas. Para tal, basta considerar N₁ = - e/ou N₂ = + (o símbolo representa o infinito). Por exemplo: